То, что требуют (ну вообще не требуют скорее, а просят) ДО подписания контракта - это называется "залог интереса". То есть вы вносите определенные деньги как гарантию вашей реальной заинтересованности в квартире. Проще говоря - лендлорд видит деньги и уже начинает разговаривать. Эту сумму вам спишут или с депозита или с первого месяца оплаты за жилье, те заплатите меньше после подписания контракта. На все абсолютно берите расписки. Если это залог интереса, к нему должно быть приложено письмо, в котором вы пишете, какую сумму даете. С этим в случае чего можно идти в суд, но думаю, до этого не дойдет.
Без агента и правда дешевле, но есть такие хитропопые агенты, которые говорят, что работают на хозяина, но его комиссию жилец делит напополам с хозяином. И получают и от хозяина всю полностью комиссию и от жильца половину, о чем хозяин может и не знать, а если и знает, то ему пофиг, на что развел жильца агент. Вы можете отказаться платить комиссию агенту, но и агент в свою очередь может отказаться работать с вами. Так что смотрите, что вам выгоднее. Можно агенту предложить небольшую сумму вознаграждения, символическую так сказать, а там смотрите, согласится или нет, я сказать не могу. У нас в 2 случаях из 3 такой вариант прокатывал.